数学是一种“发现”还是“发明”,它能独立于人类心智存在吗?

这只是冰山一角。开普勒和牛顿发现了太阳系行星运行轨道是椭圆形的,而古希腊数学家门奈赫莫斯(Menaechmus)在两千年前,即大约公元前 350 年就已经研究过这条曲线了。波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann,1826—1866)在 1854 年的一次经典演讲中概括了几门新兴几何学的主要内容,它们恰好是爱因斯坦解释宇宙结构时所必需的工具。还有一门叫作“群论”的数学“语言”,它是由年轻的数学天才伽罗瓦(Evariste Galois,1811—1832)创建的。起初,群论仅仅用来判别代数方程式的可解性,但今天,它已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家们广泛使用,用来研究几乎所有的对称性问题。此外,数学上的对称概念在某种程度上还颠覆了整个科学的研究过程。几个世纪以来,科学家认识宇宙的第一步都是在反复实验和试错后,收集汇总数据和结果,再从其中归纳出通用的自然规律。这种梳理过程从局部观察开始,之后像拼图一样,观察结果被一块块地拼接起来。进入 20 世纪后,人们认识到条理清晰的数学设计并描述了亚原子世界的基础结构,于是,当代物理学家们开始反其道而行之。他们把数学的对称性置于第一位,坚持认为自然法则和构成事物的基本要素应当遵循某种特定模式,并根据这种要求,推演出通用规律。自然界是如何知道应当遵循数学上的对称原理呢?

在 1975 年的某天,年轻的数学物理学家米奇·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum)在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室利用他的 HP – 65 便携式计算器演算一个简单的方程式。他渐渐注意到,计算器上的数越来越接近一个特定的数:4.669…。他惊奇地发现,在演算其他方程式时,这个神奇的数再次出现了。费根鲍姆虽然还不能解释其中的原因,但他很快就得出结论,自己发现的这个数似乎标志着从有序到混沌过渡时的某种普遍性规律。你大可不必对此感到惊讶,物理学家们在一开始时都是怀疑论者。究竟是什么原因导致那些看起来差异极大的系统行为背后拥有相同的数学特征呢?专家经过半年的评审,还是将费根鲍姆就此专题撰写的第一篇论文退稿了。不久之后,实验证明当液态氦从底部开始加热时,其变化过程同费根鲍姆的通用解决方案的预测结果恰好一样。人们发现不仅这一种体系会如此表现。费根鲍姆发现的这一令人惊讶的数不但出现在流体从有序流向紊乱的转换过程中,也会出现在水龙头滴水的过程中。

尔后人们才证实了,很多学科研究都需要数学的“预言”,这样的情况仍在不断上演。数学世界和真实(物理)世界之间那种神秘的、意想不到的相互影响,在纽结理论(这是一门研究绳结的学科)中得到了生动体现。数学上的“纽结”与现实中绳索上的结十分类似,只不过,这根绳索的头与尾必须连接在一起。也就是说,数学上的纽结位于一条闭合的、没有自由活动绳端的曲线之上。说来奇怪,创建纽结理论的主要起因是 19 世纪发展起来的一种错误的原子结构模型。这个模型在提出 20 年后就被证明是错误的了,但是,纽结理论作为一门相对难以理解的理论数学分支,却在不断发展演化。出人意料的是,数学家在纽结理论领域所做的抽象探索,突然间在现代科学研究中有了十分广泛的应用。其应用范围涵盖脱氧核糖核酸(DNA)分子结构、弦论(弦论试图将亚原子世界和引力统一起来),等等。我们将在第 8 章详细讨论这个不同寻常的故事,因为这段“循环”的历史也许是一个最好的例证,充分说明了数学各分支如何在人类试图解释物理现象的过程中产生,随后如何进入数学的抽象王国,并在其中发展,最终又如何出人意料地回到了物理世界的起点。

我上面讲述的这些简短的故事已经充分证明,我们所处的世界受数学支配——至少认识、分析世界的过程深受数学的影响。正如本书将要展现的,大多数(也许是全部)人类活动似乎源于数学,对此,人类自己甚至根本没有意识到。

正如我在本章开始时介绍的,数学无理由的有效性产生了许多有趣的问题:数学是一种完全独立于人类心智的存在吗?换句话说,我们是否只是发现了本已存在的数学真理,恰如天文学家发现先前未被人类观察到的星系那样?如若不是,难道数学仅是人类的一项发明?如果数学真实存在于某个抽象世界之中,那么这个神秘的世界与物理现实世界之间是什么关系?仅掌握有限知识的人类如何才能超越时空的限制,进入这个永恒不变的神秘殿堂?另一方面,假如数学仅是人类的发明,并且只存在于人类心智中,那么我们又如何解释,自己“发明”出来的如此之多的数学真理,为何会如神迹一般地准确预言了几十年甚至几百年之后才出现的宇宙和人类生活中的某些问题呢?这些问题并不简单。正如我在书中反复讲到的,即使在今天,数学家、认知学家和哲学家对此还存在分歧。

如果你认为弄清数学究竟是一种“发现”还是一种“发明”无关紧要,那么请想想这两个词之间的差异在下面这个问题里的深长意味:“上帝是一种发现还是一种发明?”或者另一个更刺激的问题:“上帝是按自己的模样创造了人,还是人类按自己的形象创造了上帝?”

在本书中,我将和大家一起探寻这一问题和其他问题的答案。我们将回顾历史上以及当今最伟大的数学家、物理学家、哲学家、认知学家和语言学家在各自领域中做出的卓越贡献,以及在其研究过程中体现出的远见卓识。书中还要回顾一些近代思想家们的观点、警句和他们对相关问题持有的保留意见。让我们先以早期哲学家们的某些开创性观点为起点,开始这段激动人心的旅程吧。